1. Phép vị tự là gì? Ví dụ phép vị tự
1.1. Định nghĩa
Cho điểm O và số \(k \neq 0\), phép vị tự là phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}\). Trong đó, điểm O được gọi là tâm vị tự, và số k được gọi là tỉ số vị tự. Ký hiệu của phép vị tự tâm O, tỉ số k thường là \(V_{(O,k)}\).
Ví dụ minh hoạ cho phép vị tự:
1.2. Nhận xét:
Khi k = 0, phép vị tự trở thành phép đồng nhất, tức là mọi điểm giữ nguyên vị trí.
Phép vị tự chính là phép đối xứng qua tâm vị tự khi k = -1.
\(M' = V_{(O,k)}(M) \Leftrightarrow M = V_{(O,\frac{1}{k})}(M')\)
2. Tính chất
Với phép vị tự tâm I, tỉ số k (hay còn gọi \(V_{(I,k)}\)) biến hai điểm A, B thành A’, B’ thì \(\overrightarrow{A'B'} = k \cdot \overrightarrow{AB}\).
Tính chất khác của phép vị tự tỉ số k đó là:
Từ ba điểm thẳng hàng cho trước ta biến ba điểm đó thành ba điểm thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm vẫn giữ nguyên.
Biến tia thành tia, biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài \(|k|a\).
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là \(|k|\), biến góc thành góc bằng nó.
Phép vị tự có thể biến đường tròn bán kính r thành đường tròn bán kính kr.
Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia.
3. Tâm vị tự của hai đường tròn
3.1. Định lý
Khi cho hai đường tròn bất kỳ, luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
3.2. Cách tìm tâm vị tự
Xác định (tìm) tâm vị tự của hai đường tròn \((I,R)\) và \((I',R')\).
Trường hợp 1: \(I\) trùng với \(I'\)
Tâm vị tự: Điểm I
Tỷ số vị tự:
\(|k| = \frac{R'}{R} \Rightarrow k = \pm \frac{R'}{R}\)
Trường hợp 2: Với \(I \neq I'\) và \(R \neq R'\)
Tâm vị tự: O là tâm vị tự ngoài là \(O_{1}\) là tâm vị tự trong.
Tỷ số vị tự:
Với tâm O:
Với tâm \(O_{1}\):
\(|k| = \frac{|\overrightarrow{OM'}|}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{|\overrightarrow{I'M'}|}{|\overrightarrow{IM}|} = \frac{R'}{R} \Rightarrow k = \frac{R'}{R}\
(Do \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{OM'}\) cùng hướng nên k không đổi dấu)
\(|k_{1}| = \frac{|\overrightarrow{O_{1}M''}|}{|\overrightarrow{O_{1}M}|} = \frac{|\overrightarrow{I'M''}|}{|\overrightarrow{IM}|} = \frac{R'}{R} \Rightarrow k_{1} = \frac{R'}{R}\
(Do \(\overrightarrow{O_{1}M}\) và \(\overrightarrow{O_{1}M''}\) ngược hướng nên k đổi dấu)
Trường hợp 3: \(I \neq I'\) và \(R = R'\)
Tâm vị tự: Chính là \(O_{1}\) trên hình vẽ bên dưới
Tỷ số vị tự:
\(|k| = \frac{|\overrightarrow{O_{1}M''}|}{|\overrightarrow{O_{1}M}|} = \frac{|\overrightarrow{I'M''}|}{|\overrightarrow{IM}|} = \frac{R}{R} = 1 \Rightarrow k = -1\
(do \(\overrightarrow{O_{1}M}\) và \(\overrightarrow{O_{1}M''}\) ngược hướng nên k đổi dấu)
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp toàn bộ kiến thức và các dạng bài toán hình.
4. Công thức phép vị tự
Cho điểm \(M(x_{0};y_{0})\). Phép vị tự tâm I(a,b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ \((x',y')\) thoả mãn:
\(x' = a + k(x_{0} - a) \)
\(y' = b + k(y_{0} - b) \)
5. Các dạng bài tập về phép vị tự và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm các yếu tố của phép vị tự biến điểm M cho sẵn thành điểm M’
Phương pháp giải:
Các trường hợp có thể xảy ra:
TH1: Nếu cho sẵn tâm O, ta tìm tỉ số \(k = \frac{\overrightarrow{OM'}}{\overrightarrow{OM}}\)
TH2: Nếu cho sẵn k, ta tìm O là điểm chia đoạn MM’ theo tỉ số k.
Ví dụ 1: Bài cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Yêu cầu xác tìm tâm phép vị tự biến G thành A và có tỉ số vị tự k = 3?
Lời giải:
Gọi O là TĐ của BC, có: \(\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OG}\). Chứng tỏ \(V(O;3): G \rightarrow A\). Vậy O là tâm của phép vị tự phải tìm.
Ví dụ 2: Đề cho tam giác ABC có H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác và đường tròn ngoại tiếp O. Xác định tỉ số vị tự k của phép vị tự biến H thành O (tâm G).
Lời giải:
Áp dụng định lý Ơ-le, ta có: O, G, H thẳng hàng và \(\overrightarrow{GO} = \frac{-1}{2}\overrightarrow{GH}\). Chứng tỏ: \(V(G;\frac{-1}{2})(H)=O\). Vậy \(k = \frac{-1}{2}\).
Dạng 2: Sử dụng phép vị tự để xác định tập hợp điểm cần tìm.
Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm N cần tìm, ta thực hiện lần lượt theo các bước sau:
Bước 1: Xác định phép vị tự \(V(O,k): M \rightarrow N\).
Bước 2: Tìm tập hợp điểm H những điểm M, suy ra tập hợp những điểm N là H’, ảnh của H qua phép vị tự \(V(O;k)\).
Ví dụ: Cho đường tròn (O), O là tâm, R là bán kính. Trên (O) lấy hai điểm phân biệt và cố định A, B. Gọi M là điểm di động trên (O) và M’ là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}\). Xác định các điểm trọng tâm G của tam giác BMM’?
Lời giải:
Gọi I là TĐ của MM’. Ta có: \(\overrightarrow{MI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). G là trọng tâm của tam giác BMM’. Nên \(\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BI} \Rightarrow V(B;\frac{2}{3}): I \rightarrow G\).
Do đó ta tìm tập hợp điểm I trước. Vì \(\overrightarrow{MI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), nên \(T_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}(M) = I\). Từ đó, tập hợp điểm (O’) của những điểm I là đường tròn O’ với \(\overrightarrow{OO'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) và bán kính R. Mà \(V(B;\frac{2}{3}): I \rightarrow G\) nên tập hợp những điểm G là đường tròn tâm O’’, ảnh của (O’) qua phép vị tự \(V(B;\frac{2}{3})\) với \(\overrightarrow{BO''} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BO'}\) và bán kính \(R' = \frac{2}{3}R\).
Dạng 3: Dựng hình nhờ phép vị tự.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm phép vị tự biến hình H thành hình H’.
Bước 2: Dựng hình H’ rồi tìm được hình H.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ có \(MN = MQ\sqrt{2}\) sao cho M, N thuộc BC, P thuộc cạnh CA và Q thuộc cạnh AB.
Lời giải:
Phân tích:
Đặt \(\frac{AQ}{AB} = \frac{AM}{AE} = k > 0\), thì phép vị tự \(V(A;k)\) biến hình chữ nhật MNPQ thành hình chữ nhật EDCB với \(ED = EB\sqrt{2}\) (vì \(MN = MQ\sqrt{2}\)).
Cách dựng:
Dựng hình chữ nhật EDCB khác phía với tam giác ABC đối với đường thẳng BC sao cho \(ED = EB\sqrt{2}\).
N, M lần lượt là giao điểm của AD, BC và AE, BC.
Qua M và N lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại P và AB tại Q.
MNPQ là hình chữ nhật phải dựng.
\(\Rightarrow\) Chỉ có duy nhất một nghiệm hình.
6. Một số câu hỏi trắc nghiệm về phép vị tự (có đáp án)
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Tính số phép vị tự biến đường thẳng đó thành chính nó là bao nhiêu?
A. Không có phép nào
B. Có một phép duy nhất
C. Chỉ có hai phép
D. Có vô số phép
Lời giải:
Đáp án D vì tâm vị tự là giao điểm của d và d’. Suy ra có vô số k vậy có vô số phép vị tự biến đường thẳng đó thành chính nó.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d và d’ song song và một điểm O bất kỳ không nằm trên chúng. Số phép vị tự tâm O có thể biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?
A. Vô số
B. Chỉ một
C. Chỉ hai
D. Không có
Lời giải:
Đáp án B. Lấy đường thẳng a bất kỳ đi qua O cắt d và d’ lần lượt tại A và A’. Gọi k thoả mãn: \(\overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OA}\), số k không phụ thuộc đường thẳng a. Vậy đáp án là phép biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ phép vị tự tâm O tỉ số k.
Ví dụ 3: Một hình vuông có S = 4. Qua phép vị tự \(V_{(I,-2)}\) thì ảnh của hình vuông trên có S tăng gấp bao nhiêu lần S ban đầu?
A. 2
B. 4
C. 8
D. \(\frac{1}{2}\)
Lời giải:
\(S_{hv} = 4 \Rightarrow\) cạnh hình vuông bằng 2. \(V(I;-2) \Rightarrow\) cạnh hình vuông mới bằng \(|-2| \cdot \text{cạnh hình vuông cũ}\). Do đó, cạnh hình vuông mới bằng 4. S tăng 4 lần.
Chọn B.
Ví dụ 4: Thực hiện phép vị tự H(1;2) tỉ số k = -3 điểm M(4,7) biến thành điểm M’ có tọa độ bao nhiêu?
A. M’(8;13)
B. M’(-8;-13)
C. M’(-8;13)
D. M’(-13;8)
Lời giải:
Đáp án B.
Ví dụ 5: Phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k = -2 biến điểm M(-3;1) thành điểm nào dưới đây?
A. M’(3,-1)
B. M’(-3,1)
C. M’(-6,2)
D. M’(6,-2)
Lời giải: Đáp án D.
Ví dụ 6: Xét phép vị tự \(V_{(I;3)}\) biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Hỏi chu vi tam giác A’B’C’ bằng bao nhiêu lần chu vi tam giác ABC?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải:
